实数集包括所有有理数和无理数的集合。例如，整数集和负值集。

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

(资料图)

但当时的实数集并没有准确定义。直到1871年，德国数学家康托尔才首次提出了对实数的严格定义。任何非空有上界的集合(包括R)都必须有上界。简介(1)任何非空有上界的集合(包括R)都必须有上界。

(2)设A、B是两个包含在R中的集合，对于任何x属于A，y属于B，都有x

实数集包括所有有理数和无理数的集合。例如，整数集和负值集。

在数学上，实数定义为与数轴上的实数、点对应的数。

实数可以直观地被视为有限小数和无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但实数的整体不能仅仅通过列举来描述。实数和虚数共同构成复数。实数可分为有理数和无理数，或代数和超越数。

实数集一般采用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是无数的。

实数是实数理论的核心研究对象。扩展数据所有实数的集合可称为实数系（real number system）或者实数连续统。任何完美的阿基米德有序域都可称为实数系。

在保序同构意义上，这是唯一常见的R表示。因为R定义了算术计算的计算系统，所以有实数系统的名称。实数可用于测量连续量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右侧是一个无限的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。在实际应用中，实数通常类似于有限小数(保留小数点后 n N为正整数)。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数通常用浮点数来表示。

一般来说，实数集是指包括所有理数和无理数在内的集合是实数集，一般用大写字母R表示。1.实数集合R对加、减、乘、除（除数不为零）具有封闭性。

也就是说，随机两个实数的和、差、积、商(不为零)仍为实数。

实数集合是有序的，换句话说，任何两个实数a、B必须满足以下三种关系之一：ab。2.微积分学以实数为核心。然而，当时的实数还没有准确定义。1871年以前，德国数学家康托尔首次严格定义实数。

任何一集(包括R)非空上界都必须有上界。

实数集包括所有有理数和无理数的集合都是实数集，一般用大写字母R表示。完善公理:(1)、任何非空有上界的集合(包括R)都必须有上确界。

(2)、设A、B是两个包含在R中的集合，对于任何x属于A，y属于B，都有x

任何符合上述四组公理的集合都称为实数集，实数集元素称为实数。

一般来说，包括所有理数和无理数在内的集合都是实数集。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

但当时的实数集并没有准确定义。

直到1871年，德国数学家康托尔才首次提出实数的严格定义。定义以四组公理为核心：1、加法公理:1.1随机属于R元素A的随机集合、b，能够定义它们的加法a b，且a b属于R；1.2加法有恒元0和a 0=0 a=a(然后是相反数)；1.3加法有交换律，a b=b a；1.4加法有结合法，(a b) c=a (b c)。2、乘法公理：2.1随意属于R元素A的集合、b，能够定义它们的乘法a·b，a.b属于R；2.2乘法为恒元1，A.1=1·a=a(然后除0外有倒数)；2.3乘法有交换律，a·b=b·a；2.4乘法有结合法，(a·b)·c=a·(b·c)；2.5乘法对加法有分配率，即a·(b c)=(b c)·a=a·b a·c。3、序公理：3.1任何xx、y属于R，xy中有，只有一个成立；3.2若x0，则x·z

4.完善公理:有两种常见的说法是等价的:(1)任何非空有上界的集合(包括R)都必须有上确界。(2)设置A、B是两个包含在R中的集合，对于任何x属于A，y属于B，都有x

实数集一般认为，包括所有理数和无理数的集合都是实数集。在18世纪，微积分学是在实数的基础上发展起来的。

但当时的实数集并没有准确定义。

直到1871年，德国数学家康托尔才首次提出实数的严格定义。定义以四组公理为核心：1、加法公理： 1.1对于随机属于集合R元素a的随机A、b，能够定义它们的加法a b，且a b属于R； 1.2加法有恒元0和a 0=0 a=a(然后是相反数)； 1.3加法有交换律，a b=b a； 1.4加法有结合法，(a b) c=a (b c)。 2、乘法公理： 2.1随意属于集合R元素a、b，能够定义它们的乘法a·b，a.b属于R； 2.2乘法为恒元1，A.1=1·a=a(然后除0外有倒数)； 2.3乘法有交换律，a·b=b·a； 2.4乘法有结合法，(a·b)·c=a·(b·c)； 2.5乘法对加法有分配率，即a·(b c)=(b c)·a=a·b a·c。 3、序公理： 3.1任何x、y属于R，xy中有，只有一个成立； 3.2若x0，则x·z

4、完善公理： 有两种常见的说法是等价的： (1)任何非空有上界的集合(包括R)都必须有上确界。 (2)设A、B是两个包含在R中的集合，对于任何x属于A，y属于B，都有x

问：0和1之间无理数集的测度是什么？答：0和1之间无理数集的测度也是1。这是因为0和1之间无理数集是0和1之间实数集的一个子集，而子集的测度总是小于或等于子集所属于的集合的测度。这里0和1之间无理数集合的测度等于0和1之间实数集的测度，等于1。

我们惊奇的发现，密集地分布在数轴上的有理数，它们的全体竟是可数的，也即离散的。那么，布满了整条数轴、毫无缝隙的实数集是否可数呢？

所谓论域是指所论及对象的全体，它也是一个集合，常用X，Y，…，U，V，…等表示，有时也称全集。给定论域U，U中的某一部分元素构成的集合叫做U上的一个集合。论域是具有相对性的概念。例如，实数集对于整数集、有理数集而言是论域，而整数集对于偶数集、奇数集而言是论域。

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